找到一个优雅的圆台侧面积公式

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|\
| \
|  \  L
|   \
------
|  r  \
|      \ l
|       \
|---------
     R

设圆台上底面半径为$r$，下底面半径为$R$，沿圆台母线做辅助线，使圆台成为圆锥。设圆锥母线长为$L$，圆台母线长为$l$。

(a+b)

在上图截面中，从圆台上底面与母线的交点向下底面做垂线，垂足将$R$分割为两条线段，分别长$r$和$R-r$。

由相似三角形，容易发现：

$$ \frac{R-r}{R} = \frac{l}{L} $$ $$ R-r = \frac{l}{L} R $$

现在计算圆台侧面积：

已知扇形面积公式$S=\frac{1}{2}lr$

将圆台侧面展开，其面积为两个扇形面积相减：

$ S = S_R - S_r $ $ = \frac{1}{2}(2{\pi}R)L-\frac{1}{2}(2{\pi}r)(L-l)$ $ = {\pi}RL - {\pi}r(L-l)$ $ = {\pi}RL - {\pi}rL + {\pi}rl$ $ = {\pi}(R-r)L + {\pi}rl$ $ = {\pi}{\frac{l}{L} R}L + {\pi}rl$ $ = {\pi}(R+r)l$

维基上有这个公式，但是没有详细证明